Każdy na pewno słyszał kiedyś stwierdzenie: "O, to wyższa matematyka!" Mówimy tak w sytuacji, kiedy mamy do czynienia z czymś, czego nawet nie chcemy próbować zrozumieć. Z kolei kiedy ktoś nas nie rozumie lub ignoruje to, co do niego mówimy, zdarza się nam powiedzieć: "Czy ja mówię do ciebie po chińsku?"

Matematyka ma z językiem chińskim coś wspólnego: aby ją rozumieć, należy znać specyficzny dla niej system pojęć i symboli graficznych, którymi się posługuje. W matematyce szkolnej sprawa nie jest bardzo trudna. Mimo że formalne definicje niektórych pojęć zadziwiłyby uczniów swoim poziomem abstrakcji (jak np. definicje funkcji, powierzchni, konstrukcje liczb naturalnych, rzeczywistych), to pojęcia te na ogół dobrze rozumiemy intuicyjnie.

Co do symboli, używa się ich do oznaczania obiektów matematycznych, działań, relacji. I znów w szkole jest stosunkowo prosto: obiekty to liczby (iksy, igreki i zety w równaniach), funkcje (zwykle oznaczane literami f, g, h), zbiory (oznaczane dużymi literami A, B, C...). Są jeszcze litery greckie - α, β, γ, czasem δ- oznaczamy nimi miary kątów w figurach geometrycznych. Symbole działań zna każdy: +, −, ∙, √ itd. Relacje mogą być na przykład pomiędzy liczbami (=, <, >, ≤, ≥, ≠) lub pomiędzy prostymi na płaszczyźnie (⊥ - prostopadłość, || - równoległość). Na pewno znalazłoby się coś jeszcze, ale nie mi chodzi o to, aby wszystko wypisywać. Można jednak powiedzieć, że pojęcia matematyczne w szkole na ogół są intuicyjne, a lista używanych symboli niedługa. A jak jest w matematyce wyższej?

O ile w szkole nie ma potrzeby zagłębiać się w formalne definicje pojęć (a jeśli się one pojawiają, to są dość proste, jak np. definicje funkcji trygonometrycznych), to w wyższej matematyce jest inaczej. Niejednokrotnie wynika to z praktycznych problemów. Przykładowo wszyscy intuicyjnie wiemy, na czym polega mierzenie odległości między punktami i nie potrzebujemy definicji odległości, aby móc ją zmierzyć. Ale jak na przykład mając daną krzywą, zmierzyć jak bardzo jest ona "krzywa"? To już nie jest takie oczywiste. Po chwili zastanowienia dochodzimy do wniosku, że nie potrafimy tego zmierzyć. Matematycy też się nad tym zastanawiali i znaleźli sposób. Siłą rzeczy powstało nowe pojęcie - krzywizna. Intuicyjnie rozumiemy, jakie krzywe są mniej, a jakie bardziej "krzywe". Ale żeby móc określić dokładnie, jak bardzo "krzywa" jest dana krzywa, albo móc stwierdzić, czy dane dwie krzywe są tak samo "krzywe", potrzebujemy definicji krzywizny.

Widzimy, że na bardziej zaawansowanym poziomie nie da się uniknąć w matematyce formalnych definicji. Z kolei potrzeba ich zapisu wymaga odpowiednich symboli. Weźmy dla przykładu kolejne zrozumiałe intuicyjnie pojęcie - granicę. Zobaczmy, czym jest granica na przykładzie. Weźmy nieskończony ciąg liczb: 1, -1/2, 1/3, -1/4, 1/5, -1/6 itd. Formalnie jego wyrazy zapisujemy jako: a₁=1, a₂=-1/2, a₃=1/3 itd, czyli n-ty wyraz oznaczamy jako a_n. Widzimy, że ten ciąg "zbliża się" do zera. Ujmując to matematycznie, jego granica w nieskończoności wynosi 0 (o ciągu, który ma granicę w nieskończoności mówimy, że jest zbieżny). Skąd intuicyjnie to wiemy? A no stąd, że widzimy, iż możemy do zera "podejść dowolnie blisko". Czyli od pewnego momentu odległość między wyrazami ciągu a zerem jest dowolnie mała. A oto matematyczny zapis tego faktu:

∀ ε>0 ∃n∈N: m≥n ⇒ |a_m-0|<ε

Czytamy to tak: dla każdej liczby epsilon większej od zera istnieje liczba naturalna n, taka że jeżeli m jest większe bądź równe n, to odległość między a_m oraz zerem jest mniejsza od epsilon. A po polsku: nieważne jak blisko zera chcemy podejść (a chcemy podejść na odległość co najwyżej ε), od pewnego momentu (konkretnie od m-tego wyrazu) będziemy tak blisko jak chcemy (czyli bliżej niż ε).

Widzimy, że pojawiły się tutaj nowe symbole: ∀ - "dla każdego", ∃ - "istnieje", czy grecka litera ε, którą przyjęło się oznaczać zmienne, pod które możemy podstawić dowolnie małą liczbę.

Ale potrzeba nowych symboli to jedno. Druga sprawa to dążenie matematyków do wyrażania twierdzeń matematycznych w jak najbardziej ogólny sposób. Znakomicie przedstawił to fizyk, noblista, Richard Feynman, przeciwstawiając sposoby myślenia i pracy matematyka oraz fizyka:

W efekcie takiego uogólniania powstają różne struktury matematyczne. I tak, zbiór liczb całkowitych wraz z działaniami dodawania i mnożenia jest przykładem pierścienia. Zbiór liczb rzeczywistych jest przykładem ciała. Ciało to taki "porządny pierścień". Mając ciało, można określić inną strukturę, zwaną przestrzenią liniową. Przykładem takiej przestrzeni jest zbiór punktów na płaszczyźnie, czyli wektorów dwuwymiarowych. Ale innym przykładem jest zbiór funkcji ciągłych na pewnym przedziale. Pozornie jedno z drugim nie ma nic wspólnego, ale w pewnym sensie funkcje ciągłe można traktować jak wektory.

Ktoś zapyta: "No dobrze, ale wektor ma zawsze jakąś długość. Jeżeli chcemy traktować funkcje jak wektory, to powinniśmy móc określić "długość" funkcji. Ale jak?"
Odpowiedź: Zgadza się, powinniśmy móc, i możemy. Co więcej, jesteśmy też w stanie określić "kąt" pomiędzy dwiema funkcjami ciągłymi. Piszę "kąt", ponieważ nie jest to kąt "tradycyjny", jak w geometrii. Tę geometryczną interpretację niestety tracimy.

Pojawia się naturalne pytanie, co nam to daje. Odpowiedź na nie padła już z ust Feynmana - jedno ogólne twierdzenie może mieć szereg interpretacji i zastosowań w zależności od tego, który konkretny przypadek rozważymy, np. czy jako przestrzeń liniową weźmiemy zbiór wektorów na płaszczyźnie, czy zbiór funkcji ciągłych na danym przedziale.

Wprowadzanie kolejnych coraz ogólniejszych struktur wiąże się z wprowadzaniem wielu nowych pojęć oraz sposobów oznaczeń. W efekcie tekst matematyczny dla laika wygląda zupełnie jak język chiński. Liczb jest jak na lekarstwo, a czasem nawet i równań, a przecież to z nimi kojarzymy matematykę z czasów szkolnych. Oczywiście tekst "pisany" nie pomaga, gdyż typowe twierdzenia matematyki wyższej brzmią mniej więcej tak:

Każda trójwymiarowa zwarta i jednospójna rozmaitość topologiczna bez brzegu jest homeomorficzna ze sferą trójwymiarową.

Jednym słowem, z niczym się nie kojarzą. To konkretne twierdzenie zostało określone mianem hipotezy Poincarego. Jej udowodnienie przez rosyjskiego matematyka Grigorija Perelmana jest jednym z najbardziej spektakularnych wyników w matematyce w ostatnich latach. Co ciekawe, Perelman nie udowodnił wprost tej hipotezy, tylko znacznie ogólniejsze twierdzenie - tzw. hipotezę geometryzacyjną Thurstona, zaś hipoteza Poincarego jest jedną z jej konsekwencji, "pozytywnym skutkiem ubocznym"...

Ale czy matematyka zawsze była taka precyzyjna, jasno zdefiniowana? Otóż nie. Jednak opisywanie w tym wpisie, jak do tego doszło i kto się do tego przyczynił, zaprowadziłoby nas zbyt daleko*.

* "Zaprowadziłoby nas to zbyt daleko" - tak napisał Poincare o ewentualnej próbie udowodnienia swej hipotezy, pozostawiając ją bez dowodu. Nie mylił się, że będzie to bardzo trudne zadanie - hipoteza czekała na swój dowód blisko 100 lat.